8 respostas neste tópico

[Diniz - Aposentado]

Determine o maior número que é produto de inteiros positivos com soma 2012. (Podem ser mais de dois)

Editado por Diniz, 11 março 2012 - 11:50 .

[P. A. Souza]

Dois desafios #13 não rola né Diniz !?

[Diniz - Aposentado]

Dois desafios #13 não rola né Diniz !?

Esse é o primeiro desafio nível 13.

[P. A. Souza]

Esse é o primeiro desafio nível 13.

Até parece..

[Ninguém]

Caramba, já chegou no #13, nem vi direito os outros. Teve outro que comecei e parei na metade hahaha
Minha ideia foi boa, afinal

Solução

Spoiler

Sendo x ∈ a Z₊ tal que x = a . b . c . (...), sendo ou não os constituintes do produto iguais entre si e equivalentes, quando somados, a 2012, isto é, a + b + c + (...) = 2012, temos, por tentativa e erro:

(1) x = 1006 . 1006 = 1 012 036 e 1006 + 1006 = 2012 (maior número possível com dois constituintes no produto)

(2) x = 670 . 671 . 671 = 301 661 470 e 670 + 671 + 671 = 2012 (maior número possível com três constituintes no produto)

Disso, observo uma anomalia que revela que, quanto mais inteiros, maior o produto entre eles. Porém existe um limite, uma vez que

x = 1²⁰¹² = 1 e 1 + 1 + 1 + ... (2012 vezes) = 2012

isto é, com o menor inteiro positivo repetido o máximo de vezes suportado e com a soma resultando em 2012, o produto dá 1. Logo há formação de uma parábola, com valores de x crescendo conforme acrescento inteiros no produto a . b . c (...) (mantendo a regra do somatório ser igual a 2012) e decrescendo até x ser mínimo, valor 1, com o número de inteiros máximo, 2012 vezes 1. Se encontrar uma equação geral, poderei achar o máximo absoluto e finalmente o número ideal de números inteiros que dê o maior produto possível. Eis a parte do problema que falta solucionar.

Observação interessante

Spoiler

Notei que os números ficam sempre mais ou menos uniformes, distribuídos aproximadamente em 50% (a . b ) e 33,33% (a . b . c). Irei utilizar isso a meu favor.

Finalização (admito que foi um problema muito interessante)

Spoiler

Após pensar durante alguns minutos, percebi que realmente os números tem de ser quase iguais, pois se aumento a em um algarismo e diminuo b em um algarismo, mesmo a soma permanecendo 2012, isto é, embora a + b = 2012 de x1 = (a-1) . (b+1), x = a . b para a = aprox. b ou até mesmo a = b (só sendo possível quando as variáveis estão aos pares) confere o maior produto possível entre inteiros. Disso, temos que:

x = aⁿ, sendo a = 2012/n e n um inteiro par, pois se for ímpar a divisão não fica homogênea, necessitando dar um "jeitinho brasileiro" para tal, como se pode ver em (2) e ser for 1, foge da regra do Diniz de ser mais de dois algarismos, pois 2012/1 resulta nele mesmo.

Dá para perceber que, quanto maior n, mais o número 2012 estará dividido e produto também será maior. Porém n está no intervalo [2, 2012]. Caramba, tá na ponta da língua a resposta! Aff =/

Agora sim, a solução! Esqueci da po##a do máximo absoluto

Spoiler

Como x = aⁿ e a = 2012/n, x = (2012/n)ⁿ. Derivando x em função de n, temos:

dx/dn = [(2012/n)ⁿ]' = n(2012/n)^n-1. (2012/n)' = n(2012/n)^n-1. (-2012 . n' / n²) = n [(2012/n)ⁿ . (2012/n)^-1] . (-2012 . n' / n²) = -(2012ⁿ / n²) = -(2012/n)ⁿ

Ou seja, dx/dn = -x. Isso prova que a função é semelhante a f(x) = e^x. Inicialmente havia imaginado um gráfico assim (considere, para todos os efeitos, nos gráficos, x = a variável n), como na fig 1.

Spoiler

No entanto, pelo visto, é como na fig 2.

Mas isso não faz sentido, pois estaria passando do intervalo [2, 2012] proposto.

Edit: só depois percebi meu erro (fig 3). Tenho que considerar um valor nesse intervalo onde x, mas no gráfico é y, é "infinito" (o gráfico deve considerar isso pois é um número absurdamente grande), isto é, entre 538 e 962 para testar a hipótese, como na fig 3. Escolherei 670 pois, como divisor de 2012 na função, dá o número mais próximo de um inteiro, o 3.

x = (2012/670)⁶⁷⁰ = 3,00298507⁶⁷⁰. Mas o número 3,00298507 não é inteiro. Considerando 3⁶⁷⁰, teríamos 3 + 3 + 3 + ... (670 vezes) = 2010. Para completar, faltaria 2 (o "jeitinho brasileiro" que mencionei lá em cima), logo a solução final é:

x = 3⁶⁷⁰ . 2

Editado por Davidson Lima, 11 março 2012 - 15:49 .

[Pedro Roque]

Spoiler

(3^670)*2

[Diniz - Aposentado]

Boa é isso mesmo, mas da para fazer do com argumentos lógicos, Nao precisa nada avançado de matemática.

Depois poste sua Solucao Pedro

[Ninguém]

Spoiler

(3^670)*2

Até agora estou aguardando a solução... Como chegou até ela, cara?

[Pedro Roque]

Até agora estou aguardando a solução... Como chegou até ela, cara?

no nem lembrava,se fosse algo para justificar nao seria bem avaliado,
bom primeiro eu pensei em 2^1006,depois percebi que 4^503 dava a mesma resposta,considerando que o grafico era uma parabola e como tinha que ser numero inteiro me restou o 3^670*2